Selectividad Matemáticas 2 Julio 2015

Julio 2015 Ejercicio A1

Dada la matriz A:

Calcular qué valor debe tener x para que la matriz inversa de A coincida con la opuesta de A (esto es A    = -A)

-1

Solución: x = 3 y x = -3

Ver solución (pendiente)

Julio 2015 Ejercicio A2

Considera los puntos A(2,1,2), B(0,4,1) y la recta r de ecuación:

2

z -  3

x = 

y - 2 = 

a) Calcular un punto P de la recta que equidiste de los puntos A y B.

b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto A.

Solución: a) P = (-1,1,1)

                   b) x + y + 2z = 7

Ver solución(pendiente).

Julio 2015 Ejercicio A3

Para adornar un mural queremos construir un marco de madera rectangular que encierre una superficie de cinco metros cuadrados. Sabemos que el coste de cada centímetro del marco de los lados horizontales es de 1,5 euros, mientras que en los lados verticales es de 2,7 euros. Determinar las dimensiones que hemos de elegir para que el marco nos resulte lo más barato posible.

Solución: 3 metros horizontal y 5/3 metros vertical.

Ver solución(pendiente).

Julio 2015 Ejercicio A4

Calcula la siguiente integral indefinida:

Solución: x  + 10x + (1/5)ln |x| + (254/5)ln|x-5| + K

2

Ver solución(pendiente).

Julio 2015 Ejercicio A5

Una caja contiene monedas de 10 céntimos, 20 céntimos y 50 céntimos. En total hay 350 monedas. El número de monedas de 50 céntimos es el doble que el de monedas de 10 céntimos. Si en total hay 90 euros ¿cuántas monedas hay de cada clase?

Solución:  40 monedas de 10 céntimos,

                   230 monedas de 20 céntimos,

                    80 monedas de 50 céntimos.

Ver solución(pendiente).

Julio 2015 Ejercicio B1

Discute en función del parámetro m el sistema de ecuaciones:

mx  + my     = 1

3x        + mz = m-2

      -y     + z  = m-3

¿Existen casos de indeterminación? Si la respuesta es afirmativa resolver el sistema en esos casos. Si es negativa explicar por qué.

Solución: a) Si m es distinto de 0 y 3 Sistema Compatible Determinado.

                        Si m es igual a 0 Sistema Incompatible.

                        Si m es igual a 3 Sistema Compatible indeterminado.

                  b) ((1-3y)/3, y, y) Con y en R

Ver solución(pendiente).

Julio 2015 Ejercicio B2

a) Dada la recta r en ecuación implícita r:

3x + y - z = 2

2x + y +4z = 1

y el plano 2x + (a+1)(y-3) + a(z-1) = 0. Determinar el valor del parámetro a para que el plano y la recta sean paralelos.

b) ¿Pertenece el punto P(1,0,-3) al plano obtenido en la recta anterior?.

Solución: El plano es 2x + (19/13) y - (4/13) z = 23/13.

 El punto P no pertenece al plano. 

Ver solución(pendiente).

Dada la función f(x) = 

Julio 2015 Ejercicio B3

2

2

ax   + 3x   si x<=2

x   - bx  - 4 si x > 2

a) Hallar los valores de a y b sabiendo que f es derivable en toda la recta real.

b) Calcular la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abcisa x = 1.

Solución: a) a=2 y b=-7.

                   b) y-5 = 7(x-1)

Julio 2015 Ejercicio B4

Ver solución(pendiente).

Representar gráficamente la región del plano limitada por la curva y=2x  , la recta tangente a la gráfica de dicha función en el origen de coordenadas y la recta x=1.

Calcular el área de dicha región.

3

Solución: La representación se muestra en "ver solución". El área es 1/2.

Ver solución(pendiente).

Julio 2015 Ejercicio B5

Una caja (prisma rectangular) tiene por dimensiones A,2A y 3A. Si disminuimos cada una de sus dimensiones en un 50%. ¿El volumen habrá disminuido en un 50%?  ¿Y el área total habrá disminuido en un 50%? Razona las respuestas.

Solución: El volumen es un octavo del volumen original y el área es una cuarta parte del área original.

Ver solución(pendiente).

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