Teorema de Bolzano

Teorema de bolzano:

Si f(x) es una función continua en [a,b] y f(a) tiene signo distinto de f(b), entonces existe al menos un c perteneciente al intervalo (a,b) tal que f(c) = 0.

Entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo (a,b) tal que f’(c) = 0.

Es decir, si la función cumple las condiciones existe un punto en el intervalo que tiene tangente horizontal.

Ejemplo:

Demostrar que la función:

tiene al menos una solución en el intervalo (-2, 2).

Solución:

La función f(x) es continua en el intervalo [-2,2] por ser un polinomio.

Si vemos los valores en a (-2) y b(2):

f(-2) = -1

f(2) = 15

Luego el teorema nos dice que hay un corte con el eje (una solución de f(x) = 0) en el intervalo (0,2).

Si vamos un poco más allá y vemos las soluciones de f(x) = 0 (los cortes con el eje OX):

Vemos que efectivamente el -1 es solución de la función y está en el intervalo (-2,2).

En este punto, lo que nos están diciendo es que si la función f(x) es continua en un intervalo [a,b] y la evaluación tiene signos diferentes, entonces existe un punto de ese intervalo en el que hay corte con el eje X (es decir, existe solución de la función f(x) = 0 en ese intervalo)

Aplicaciones del teorema de Bolzano:

1) Con este método sabemos que la función va a cortar el eje, sin tener por qué saber el punto exacto de corte, pues hay funciones que cortan al eje en puntos que no son fáciles de calcular, al poder conocer un intervalo donde está la solución podemos dar una aproximación de la solución con la precisión que queramos, es ir comprobando los valores de los extremos del intervalo que queramos.

Ejemplo de esto que decimos:

Demostrar que la ecuación

tiene al menos una solución en el intervalo (1,2)

Es una aplicación del teorema de bolzano, ya que buscamos un valor tal que f(c) = 0, pero no necesitamos el valor concretamente, sino que digamos que existe.

f(x) es continua en el intervalo (1,2), ya que al ser un polinomio siempre es continua.

f(1) = -3

f(2) = 5

Como tienen distinto signo, entonces existe una solución de f(x) = 0 en el intervalo (1,2) según el teorema de Bolzano.

2) También podemos garantizar con este método que dos funciones se van a cortar en un intervalo.

Esto es así porque, si tenemos 2 funciones f(x) y g(x), podemos saber si cortan en un punto mirando la resta de ambas, ya que cuando se corten la resta será 0 (f(x) - g(x) = 0), por lo que se puede garantizar que se cortan en un punto de un intervalo si en dicho intervalo se cumple el teorema de Bolzano para la resta de las funciones.

Ejemplo:

Probar que las funciones:

se cortan en algún punto del intervalo (0,2):

Tenemos que mirar si la resta de las funciones verifica el teorema de Bolzano en el intervalo, para ello, creamos una función h(x) = f(x) - g(x) →

Esta función h(x) es continua en [0,2] ya que es un polinomio.

f(0) = -2

f(2) = 2

Como tienen distinto signo, sabemos que se van a cortar.

De hecho podemos hacer el intervalo más pequeño, para aproximar mejor la solución:

Si miramos en el intervalo (1,2):

f(1) = -1.

f(2) = 2.

Siguen teniendo distinto signo, luego el corte estará en el (1,2).

Y podemos aproximar con decimales (intervalo desde 1.3 a 1.7)

I = (1.3, 1.7)

f(1.3) = -0,31

f(1.7) = 0,89

Luego el punto de corte con 1 decimal estará entre (1.3, 1.7).

Nota: si estamos haciendo esta aproximación, una buena idea es dividir el intervalo por la mitad, sabremos en qué mitad estamos cuando tengamos los signos diferentes.

En el ejemplo:

Hemos partido del intervalo (1,2). Para aproximarnos más, probaremos en los intervalos (1, 1.5) y si ahí no hay cambio de signo, en el (1.5, 2).

f(1) = -1.

f(1.5) = 0,25.

El cambio de signo está entre (1, 1.5).

Veamos que no está entre (1.5, 2)

f(1.5) = 0.25

f(2) = 2

Aquí no hay cambio de signo, luego tiene que estar como ya habíamos dicho en (1, 1.5).

Y así podemos ir dividiendo el intervalo todo lo que queramos para conseguir aproximar con los decimales que queramos la solución.