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Medidas de tendencia central:

MEDIA

La media aritmética es el valor central alrededor del cual están la mayoría de las observaciones.

También se denomina promedio.

Sólo se utiliza para variables cuantitativas.

Se denota: x̄.

Se obtiene sumando todos los valores de la variable y dividiendo entre el número total de observaciones, si tenemos frecuencia aprovechamos esa frecuencia y lo que se hace es la suma de todos los valores por su frecuencia entre el total de observaciones.

Veamos sus fórmulas

Si los valores tienen frecuencia:

Donde:

xi: Son los valores de la variable

ni: Es la frecuencia absoluta del valor correspondiente

n: Es la suma de todas las frecuencias (todos los casos)

Si no tenemos frecuencias en los valores, podemos directamente olvidarnos de ellas y nos quedará la fórmula de la media:

También se pueden utilizar las frecuencias relativas, al usarlas nos olvidaremos de dividir entre el número total de casos, por lo que nos quedará la fórmula:

Para los datos agrupados en intervalos, se utiliza como valor de la variable xi el punto medio o marca de clase.

Veamos unos ejemplos:

Si tenemos una variable cuantitativa discreta (vamos a reutilizar la variable número de veces que se han presentado al carnet de conducir), nos dan la tabla:

En este punto, vemos que tenemos frecuencia, vamos a utilizar la primera fórmula, para ello primero organizamos los datos en tabla para que nos sea más fácil después:

Hemos creado una columna nueva en la que hacemos xi · ni, para poder obtener la suma (32), así tenemos la parte de arriba, el total (n) es 20 luego nos queda:

Vamos a ver también cómo se haría con la tercera (en este caso la segunda no se puede aplicar porque hay frecuencia), primero vamos a ver la tabla que se utilizará para preparar los datos:

Y aplicamos la fórmula:

En este caso, la tabla nos ha dado directamente el valor de la media, y como era de esperar en ambos casos tiene el mismo valor.

Veamos un caso para la segunda fórmula:

Sean las alturas de 10 personas de una clase las siguientes:

1.67, 1.69, 1.72, 1.74, 1.75, 1.75, 1.78, 1.82, 1.84 y 1. 86.

Vamos a calcular su media.

Al no tener frecuencia, se tienen que sumar y dividir por el total de las observaciones (10):

Veamos ahora un caso para datos agrupados en intervalos:

Si volvemos sobre las 20 alturas que teníamos en el capítulo anterior:

En este caso, se va a utilizar la marca de clase, vamos a calcular la media mediante la primera fórmula, por lo que primero haremos la tabla preparatoria para tener el resumen de los datos y después aplicamos la fórmula:

Veamos ahora unas propiedades de la media:

1) La suma de las desviaciones de cada valor respecto a su media es cero:

2) Si a los valores de las variable X le aplicamos la transformación lineal Y = bX + c, entonces la media de y será igual a b· x̄ + c.

Notas:

Cuando los datos están agrupados en intervalos, la media no se puede calcular si no hay límite inferior, superior o ambos (ya que entonces no tendremos marca de clase para ese intervalo).

No es recomendable en distribuciones asimétricas (ya que al tener más valores en un lado que en otro la media tenderá hacia ese lado).