Plano inclinado con rozamiento y aceleración negativa

Vamos a ver mediante un ejemplo cómo actuar cuando estamos ante un problema de tensiones y plano inclinado, con rozamiento y nos sale la aceleración negativa:

Tenemos la siguiente situación:

Donde el cuerpo (1) tiene una masa de 50 kg, el cuerpo (2) tiene una masa de 15 kg, y el coeficiente de rozamiento μ = 0,2.

¿Cuál es la aceleración del sistema? ¿Cuál es la tensión de la cuerda?.

Aquí os dejamos la solución en vídeo primero, después os ponemos la solución por escrito.

Ver la explicación en vídeo mediante el sistema completo pinchando aquí (se abrirá una nueva ventana en YouTube).

Ver la explicación en vídeo por cuerpos pinchando aquí (se abrirá una nueva ventana en YouTube).

Como no sabemos en principio hacia dónde va el sistema, vamos a suponer que el cuerpo 2 puede sobre el cuerpo 1 y el sistema se desplaza hacia la izquierda

Veamos las fuerzas que actúan en el sistema:

Vamos a describir las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo:

P2: (Peso del cuerpo 2) = 15·9,8 = 147 N

T: Tensión de la cuerda, es la misma tensión en la cuerda por lo que la T es la misma para los 2 cuerpos.

P1: (peso del cuerpo 1) = 50 · 9,8 = 490 N

Como estamos en un problema de plano inclinado, el P1 hay que descomponerlo según los ejes en los que nos movemos.

P1x: (peso en el eje X del cuerpo 1) = P·sen 30º = 490 · 0,5 = 245 N.

P1y: (peso en el eje Y del cuerpo 1) = P·cos 30º = 490 · 0,87 = 426,3 N.

N: Fuerza Normal que ejerce la superficie sobre el cuerpo 1, la calcularemos a posteriori.

Fr: Fuerza de rozamiento sobre el cuerpo 1, la calcularemos a posteriori.

Para calcular la Fr se utiliza el Eje Y, que en ese caso sólo influyen el P1y y la N, como no hay movimiento en el eje Y:

P1y - N = 0

Luego N = P1y → N = 426,3 N.

Una vez tenemos la N, vamos a calcular la Fr:

Fr = μ · N = 0,2 · 426,3 = 85,26 N.

Vamos ahora con el sistema:

Primero vamos a ver las fuerzas que hay en todo el sistema (ojo que en todo el sistema la masa total es de 50 + 15 = 65 kg), después veremos las fuerzas que actúan en cada cuerpo.

Como hay que tener en cuenta el sentido del movimiento:

P2 - T + T - P1x -Fr = m·a

Luego (simplificamos las T):

147 - 245 - 85,26 = 65·a

-183,26 = 65 · a

a = -183,26/65 = -2,81 m/sg2.

Si lo hacemos por cuerpos:

Cuerpo 1:

T - P1x -Fr = m1·a

Cuerpo 2:

P2 - T = m2 · a

Si despejamos la tensión en ambas:

T = P1x +Fr + m1·a

T = P2 - m2 · a

Como la tensión es la misma:

P1x +Fr + m1·a = P2 - m2 · a

P1x +Fr - P2 = - m2 · a - m1·a

245 + 85,26 - 147 = - 50·a - 15·a

183,26 = -65a

a = 183,26/(-65) = -2,81 m/sg2.

Esta aceleración es negativa, esto significa que el movimiento es en sentido contrario, pero en este caso NO sirve con decir que será la misma pero en el sentido contrario, ya que al cambiar el sentido del movimiento cambia el sentido de la fuerza de rozamiento.

Vamos a reorganizar las fuerzas cambiando el sentido del movimiento:

Todas son iguales salvo que como se ve, la fuerza de rozamiento cambia de sentido, pero no hay cambios de valores, por lo que las fuerzas que actúan en el sistema esta vez serán:

P1x - T -Fr + T - P2 = m·a

Luego (simplificamos las T):

245 - 85,26 - 147 = 65·a

12,74 = 65 · a;

a = 12,74/65 = 0,196 m/sg2.

Si lo hacemos por cuerpos:

Cuerpo 1:

P1x - T -Fr = m1·a

Cuerpo 2:

T - P2 = m2·a

Despejamos las tensiones:

T = P1x - Fr - m1·a

T = P2 + m2·a

P1x - Fr - m1·a = P2 + m2·a

P1x - Fr - P2 = m2·a + m1·a

245 - 85,26 - 147 = 65·a

12,74 = 65·a;

a = 12,74/65 = 0,196 m/sg2.

Esta vez ya es positiva.

Ahora sí que se pueden utilizar las ecuaciones de las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo para calcular la tensión:

Sobre el cuerpo 1 (esta vez la masa es la propia del cuerpo):

P1x - T -Fr = m·a

245 - T - 85,26 = 50 · 0, 196

159,74 - T = 9,8

- T = 9,8 - 159, 74 → - T = - 149,94 → T = 149,94 N.

A modo de comprobación, vamos a calcular también la tensión utilizando el cuerpo 2:

Sobre el cuerpo 2 (esta vez la masa es la propia del cuerpo):

T - P2 = m·a

T - 147 = 15 · 0,196

T = 2,94 + 147 → T = 149,94 N.

Como vemos es la misma (aquí dependiendo de decimales puede variar un poco)

Si las 2 aceleraciones nos salen negativas (en un sentido del movimiento y en el otro), esto nos indica que el sistema está estático, es decir, no se mueve.

Esto sucede porque el sistema intenta ir hacia donde está el peso libre (en este caso el cuerpo 2) pero este peso es menor que el peso del otro objeto (Px1) más la fuerza de rozamiento.

Para intentar "predecir" el sentido del movimiento en estos problemas, un truco suele ser calcular antes los pesos en los ejes, es decir, el Px y el Py, así, si vemos que el Px es mayor que el otro peso P, el sistema irá en la dirección que marque el Px, e irá en la dirección del P si no se cumple, es decir, el sistema se moverá hacia donde nos indique el mayor de los pesos (después de descomponerlo).