INTEGRALES POR PARTES

Vamos a ver el método de integración por partes. 

Éste método consiste en seguir el patrón:

Donde hay que relacionar u y dv con los valores que tenemos en nuestra integral de partida, y obtener los valores du y v a partir de ellos derivando e integrando respectivamente.

Esta regla se recuerda mediante la nemotecnia: “un día vi una vaca vestida de uniforme” ya que las iniciales indican lo que hay que poner.

En estos casos, donde vemos la “d” es porque estamos hablando de la derivada, y como observación hay que tener en cuenta que las “d” siempre van juntas.

 

Veamos un ejemplo:

 

En este caso, tenemos que definir “u” y “dv” con los datos que tenemos:

Como vemos, el dv tiene el dx (por lo que habíamos indicado de que las “d” siempre van juntas) indicando que son las derivadas.

Obtenemos el du (derivando) y el v (integrando) los componentes u y dv respectivamente:

Para calcular "du" hay que derivar ambos lados (respecto a la variable correspondiente):

      du = dx

Para calcular "v" hay que integrar ambos lados (respecto a la variable correspondiente):

 

Quedando entonces:

 

Y si aplicamos el método sustituyendo los valores:

 

Que acabando de resolver:

 

Para elegir qué escoger en para la “u” y para el “dv” hay que aplicar la regla “ALPES”, que nos indica:

Arco…. (arcosen, arcocoseno, arcotg).

Logaritmos.

Polinomios (x elevado a…).

Exponenciales (e elevado a…).

Senos (cosenos, tangentes…)

para la preferencia de la “u”, eligiendo el resto para el “dv”.

El método será necesario realizarlo tantas veces como necesitemos, como veremos en el siguiente ejemplo:

 

Primera iteración:

Siguiendo las instrucciones de “ALPES” la u será la potencia, quedando:

 

así:

 

Quedando:

 

Vemos que ha bajado un grado la “x”, por lo que vamos en buen camino, hay que realizar ahora la siguiente:

Segunda iteración:

 

así:

 

Luego:

 

Insertando el resultado en la original:

 

Tercera iteración:

 

Así:

 

Luego:

 

Volvemos a ponerlo en la inicial:

 

Y ya hemos conseguido resolver la integral.

En el siguiente apartado veremos más casos particulares de integrales por partes, como son las "Integrales circulares" y la integral del logaritmo, que no se puede realizar directamente.

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