Vectores en e plano

Geometria 1º Bachillerato

Vectores en el plano

En primer lugar vamos a ver qué es un vector:

Un vector es la representación del movimiento de un punto A a un punto B en el plano, se representa con letras minúsculas y con una flecha encima, o también con el punto de partida y el final con la flecha encima:

Veamos un ejemplo:

Si partimos del punto A=(1,1) y queremos llegar al punto B=(3, 5) nos tendremos que mover 2 unidades hacia la derecha y 4 hacia arriba, por lo que nos quedará el vector ⊽ = (2,4). También se puede indicar:

Nota: el vector (0,0) se llama vector nulo y se representa Ō.

Módulo de un vector:

Como un vector representa un movimiento de un punto a otro, la distancia que hay de un punto al otro será justamente lo que se define como el módulo del vector, se representa con el vector entre rayas: |⊽|

Si definimos el vector ⊽ = (v1, v2)

Se calcula de la siguiente forma:

Notas:

Un vector se llamará unitario o normal si su módulo vale 1 ( |⊽| = 1).

El módulo de un vector siempre será positivo (ya que la distancia entre 2 puntos siempre va a ser mayor o igual que cero).

Ejemplo:

Vamos a calcular el módulo del vector ⊽ = (2,4)

Aplicamos la fórmula:

Ya tenemos la distancia que hay entre los puntos A y B iniciales.

Veamos el dibujo de lo que hemos hecho:

Propiedades de un vector:

Módulo: Es el tamaño del vector.

Dirección: Nos indica la recta sobre la que nos movemos. Es la pendiente de la recta de la contiene al vector (veremos cómo calcular la pendiente más adelante).

Sentido: Se indica por la punta de la flecha, nos muestra si vamos de A a B o de B a A.

La pregunta lógica en este punto es: ¿cómo se construye un vector que va de un punto A a otro punto B? y se realiza de la siguiente forma:

Sean los puntos A = (a1,a2) y B= (b1, b2).

Entonces el vector que va de A a B será:

En el ejemplo del que partíamos del punto A=(1,1) y queremos llegar al punto B=(3, 5), el vector:

Pero ojo, porque este es el vector que va de A a B, si quisiéramos el vector de B a A:

Son iguales en sí pero en sentido contrario.

Operaciones con puntos y vectores

Se puede sumar a un punto un vector:

Si tenemos un punto A = (2,4) y un vector ⊽ = (1,3), la suma A + ⊽ es un punto B que consiste en desplazar el punto A lo que nos dice el vector: (2+ 1, 4 +3) → B=(3,7).

Veámoslo gráficamente:

Suma/resta de vectores

Dos vectores se suman sumando sus coordenadas respectivas.

Es decir, si tenemos el vector ⊽ = (2, 5) y ū = (4, 7) entonces la suma:

⊽ + ū = (2 + 4, 5 + 7) = (6, 12)

Y la resta también es igual:

⊽ - ū = (2 - 4, 5 - 7) = (-2, -3)

Gráficamente, al sumar 2 vectores lo que estamos haciendo es obtener un tercer vector que va del inicio del primero hasta el final del segundo:

Producto de un vector por un escalar:

En este caso, lo que se hace es multiplicar un vector por un número (escalar), el resultado es multiplicar cada componente del vector por el escalar:

Dado el vector ⊽ = (v1, v2) y el escalar (número) k, el producto:

k·⊽ = (k·v1, k·v2)

Ejemplo:

Si queremos multiplicar el vector ⊽ = (2, 3) por el escalar 3:

3·⊽ = (3·2, 3·3) = (6, 9).