Las clases de Gonzalo
explicaciones de matemáticas
Geometria 1º Bachillerato
Vectores en el plano
En primer lugar vamos a ver qué es un vector:
Un vector es la representación del movimiento de un punto A a un punto B en el plano, se representa con letras minúsculas y con una flecha encima, o también con el punto de partida y el final con la flecha encima:
Veamos un ejemplo:
Si partimos del punto A=(1,1) y queremos llegar al punto B=(3, 5) nos tendremos que mover 2 unidades hacia la derecha y 4 hacia arriba, por lo que nos quedará el vector ⊽ = (2,4). También se puede indicar:
Nota: el vector (0,0) se llama vector nulo y se representa Ō.
Módulo de un vector:
Como un vector representa un movimiento de un punto a otro, la distancia que hay de un punto al otro será justamente lo que se define como el módulo del vector, se representa con el vector entre rayas: |⊽|
Si definimos el vector ⊽ = (v1, v2)
Se calcula de la siguiente forma:
Notas:
Un vector se llamará unitario o normal si su módulo vale 1 ( |⊽| = 1).
El módulo de un vector siempre será positivo (ya que la distancia entre 2 puntos siempre va a ser mayor o igual que cero).
Ejemplo:
Vamos a calcular el módulo del vector ⊽ = (2,4)
Aplicamos la fórmula:
Ya tenemos la distancia que hay entre los puntos A y B iniciales.
Veamos el dibujo de lo que hemos hecho:
Propiedades de un vector:
Módulo: Es el tamaño del vector.
Dirección: Nos indica la recta sobre la que nos movemos. Es la pendiente de la recta de la contiene al vector (veremos cómo calcular la pendiente más adelante).
Sentido: Se indica por la punta de la flecha, nos muestra si vamos de A a B o de B a A.
La pregunta lógica en este punto es: ¿cómo se construye un vector que va de un punto A a otro punto B? y se realiza de la siguiente forma:
Sean los puntos A = (a1,a2) y B= (b1, b2).
Entonces el vector que va de A a B será:
En el ejemplo del que partíamos del punto A=(1,1) y queremos llegar al punto B=(3, 5), el vector:
Pero ojo, porque este es el vector que va de A a B, si quisiéramos el vector de B a A:
Son iguales en sí pero en sentido contrario.
Operaciones con puntos y vectores
Se puede sumar a un punto un vector:
Si tenemos un punto A = (2,4) y un vector ⊽ = (1,3), la suma A + ⊽ es un punto B que consiste en desplazar el punto A lo que nos dice el vector: (2+ 1, 4 +3) → B=(3,7).
Veámoslo gráficamente:
Suma/resta de vectores
Dos vectores se suman sumando sus coordenadas respectivas.
Es decir, si tenemos el vector ⊽ = (2, 5) y ū = (4, 7) entonces la suma:
⊽ + ū = (2 + 4, 5 + 7) = (6, 12)
Y la resta también es igual:
⊽ - ū = (2 - 4, 5 - 7) = (-2, -3)
Gráficamente, al sumar 2 vectores lo que estamos haciendo es obtener un tercer vector que va del inicio del primero hasta el final del segundo:
Producto de un vector por un escalar:
En este caso, lo que se hace es multiplicar un vector por un número (escalar), el resultado es multiplicar cada componente del vector por el escalar:
Dado el vector ⊽ = (v1, v2) y el escalar (número) k, el producto:
k·⊽ = (k·v1, k·v2)
Ejemplo:
Si queremos multiplicar el vector ⊽ = (2, 3) por el escalar 3:
3·⊽ = (3·2, 3·3) = (6, 9).
