Sumar n números

Sumar los n-primeros números

Vamos a ver un método para conseguir sumar los primeros números que queramos, es decir, si queremos sumar los cinco primeros números tenemos que realizar:

1 + 2 + 3 + 4 +5  = 15.

Pero esto puede ser excesivamente largo en el caso de querer sumar 100 números.

En general, podemos aplicar el siguiente método para sumar n-números:

Si ponemos los números en línea y debajo los ponemos ordenados al revés:
    1    +     2     +  … +  n-1   +    n
    n    +   n-1   + …  +    2     +    1 
(n+1) + (n+1) + …  + (n+1) + (n+1)

En la última fila hemos puesto la suma de cada uno de ellos, que vemos que siempre da lo mismo y es (n+1), teniendo en total n elementos, por lo que la suma será n·(n+1).

Como hemos sumado dos veces la misma serie, la suma que buscamos sigue la fórmula:

Veamos un ejemplo:

Si queremos sumar los 100 primeros números:

n = 100, luego:

Suma = (100·(101))/2 = 10100/2 = 5050.

Luego la suma de los 100 primeros números es 5050.

Sumar los n-primeros múltiplos de un número

Si en vez de empezar en 1 e ir de 1 en 1 queremos calcular la suma de los n-primeros múltiplos de un número (por ejemplo la suma de los 5 primeros múltiplos de 3), se aplica el mismo método dando como resultado la fórmula:

Donde "n" es el número de múltiplos que queremos sumar del número "p".

Vamos a ver un par de ejemplos:

Si queremos sumar los 5 primeros múltiplos de 3, éstos son:

3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45. (Ya sabemos que la suma es 45), veamos con el método:

n = 5 y p = 3 luego:

Suma = (5·6)· 3 /2 = 30 · 3/2 = 90/2 = 45.

Como era de esperar, la suma es 45.

Veamos otro ejemplo:

Si sumamos los 10 primeros múltiplos de 7:

Suma = (10·11)·7/2 = 110·7/2 = 385.

Sumar múltiplos consecutivos de un número

Este caso es una generalización de las sumas anteriores, lo que hacemos es quitar la condición de empezar en el primer número para empezar en el múltiplo que queramos.

Para calcular la suma se tiene que aplicar la fórmula:

En este caso no hay distinción entre el 1 y el resto de múltiplos. 

Veamos lo que es cada cosa:

a: Es el primer valor de la sucesión.

b: Es el último valor de la sucesión.

n: Es el número de elementos consecutivos que buscamos.

Aquí tenemos el problema de cómo encontrar el último elemento de la sucesión, pero se calcula mediante la fórmula

b = a + p·(n-1)

Donde"p" es el número del que estamos buscando sus múltiplos.

Veamos unos ejemplos:

Si queremos calcular la suma de 4 múltiplos consecutivos de 7 a partir de 49:

El primero es 49, luego a = 49.

El último será b = 49 + 7· (4-1) = 49 + 7·3 = 49 + 21 = 70.

Suma = (49 + 70)·4 / 2 = 119 · 4/2 = 238.

Calcular la suma de 123 múltiplos de 5 a partir de 45 (incluido):

Tenemos a = 45

b = 45 + 5·(122) = 655

Entonces: 

Suma = (45+655)·123/2 = 700·123/2 = 43050.

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