Las clases de Gonzalo
explicaciones de matemáticas
Seno, Coseno y tangente
Explicaciones
Para esta parte vamos a partir de un triángulo rectángulo y considerar el ángulo θ tal como sigue:
En los ejemplos vamos a partir de un triángulo de lados 3 (opuesto), 4(contiguo) y 5(hipotenusa).
Seno:
El seno de un ángulo θ se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir:
sen(θ) = opuesto/hipotenusa.
Ejemplo:
En nuestro ejemplo de triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y cateto opuesto 3:
sen(θ) = 3/5 = 0,6.
Coseno:
El coseno de un ángulo θ se define como la razón entre el cateto contiguo y la hipotenusa, es decir:
cos(θ) = contiguo/hipotenusa.
Ejemplo:
En nuestro ejemplo de triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y cateto contiguo 4:
cos(θ) = 4/5 = 0,8.
Tangente:
La tangente de un ángulo θ se define como el cociente entre el seno y el coseno:
tg (θ) = sen(θ)/cos(θ).
También se puede definir como entre el opuesto entre el contigo (ya que si hiciéramos los cálculos así se quedaría):
tg (θ) = opuesto/contiguo.
Ejemplo:
En nuestro ejemplo de triángulo rectángulo de hipotenusa 5, cateto contiguo 4 y cateto opuesto 3:
tg(θ) = sen(θ)/cos(θ) = 0,6/0,8 = 0,75.
Por el otro lado:
tg(θ) = 3/4 = 0,75.
Generalidades del seno, coseno y tangente:
Todos los ángulos tienen seno, coseno y tangente.
Siempre el seno y el coseno toma valores entre -1 y 1, la tangente puede tomal cualquier valor.
Valores importantes del seno y del coseno:
Hay que dar especial valor a algunos ángulos, estos son 0º, 90º, 180º, 270º y 360º:
sen(0º) = 0
cos(0º) = 1
sen(90º) = 1
cos(90º) = 0
sen(180º) = 0
cos(180º) = -1
sen(270º) = -1
cos(270º) = 0
sen(360º) = 0
cos(360º) = 1.
Vemos que los valores de 0º y 360º son el mismo, esto es porque ya hemos dado la vuelta al círculo y entonces se repiten los valores.
Ejemplo 1:
Calcular el seno, coseno y tangente del ángulo θ definido en el siguiente triángulo:
solución:
sen(θ) = 0,38.
cos(θ) = 0,92.
tg(θ) = 0,42.
Ejemplo 2:
Siendo el sen(θ) = 0,5 y el valor del cateto opuesto igual a 5, calcular la hipotenusa.
solución:
Por definición, sen(θ) = opuesto/hipotenusa,
luego:
0,5 = 5/hipotenusa.
Si pasamos al otro lados:
0,5 · hipotenusa = 5 -->
hipotenusa = 5/0,5 = 10.
Ejemplo 3:
Si tenemos un triángulo de hipotenusa 17, cateto opuesto 8 y sabemos que la tangente vale 0,53. ¿Cuánto vale el cateto contiguo?
solución:
Obtenemos el, sen(θ) = opuesto/hipotenusa = 8/17 = 0,47.
Así podemos calcular el coseno:
tg(θ) = sen(θ)/cos(θ) -->
0,53 = 0,47/cos(θ).
Despejando:
cos(θ) = 0,47/053 = 0,89.
Por otro lado, sabemos que:
cos(θ)= contiguo/hipotenusa luego si sustituimos:
0,89 = contiguo/17 -->
0,89 · 17 = contiguo -->
contiguo = 15.
Otra forma de calcularlo:
como tg(θ) = 0,53
tenemos tg(θ) = opuesto/contiguo -->
0,53 = 8/contiguo.
Si despejamos:
contiguo · 0,53 = 8 -->
contiguo = 8/0,53 = 15.
Cosecante, secante y cotangente:
En los ejemplos vamos a partir de un triángulo de lados 3 (opuesto), 4(contiguo) y 5(hipotenusa).
Cosecante:
Es la función inversa del seno, por lo que se define como:
La cosecante de un ángulo θ se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, es decir:
cosec(θ) = hipotenusa/opuesto.
Ejemplo:
En nuestro ejemplo de triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y cateto opuesto 3:
cosec(θ) = 5/3 = 1,67.
Secante:
Es la función inversa del coseno, por lo que se define como:
La Secante de un ángulo θ se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo , es decir:
sec(θ) = hipotenusa/contiguo.
Ejemplo:
En nuestro ejemplo de triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y cateto contiguo 4:
sec(θ) = 5/4 = 1,25.
Cotangente:
Es la función inversa de la tangente, por lo que se definirá de cualquiera de las dos formas siguientes:
La cotangente de un ángulo θ se define como el cociente entre el coseno y el seno:
Cotg (θ) = cos(θ)/sen(θ).
También se define como el cociente entre la cosecante y la secante:
Cotg (θ) = cosec(θ)/sec(θ).
También se puede definir como entre el opuesto entre el contigo (ya que si hiciéramos los cálculos así se quedaría):
Cotg (θ) = contiguo/opuesto.
Ejemplo:
En nuestro ejemplo de triángulo rectángulo de hipotenusa 5, cateto contiguo 4 y cateto opuesto 3:
cotg(θ) = cos(θ)/sen(θ) = 0,8/0,6 = 1,33.
ó:
cotg(θ) = cosec(θ)/sec(θ) = 1,67/1,25 = 1,33.
Por el otro lado:
cotg(θ) = 4/3 = 1,33.