Seno, Coseno y tangente

Explicaciones

Para esta parte vamos a partir de un triángulo rectángulo y considerar el ángulo θ tal como sigue:

En los ejemplos vamos a partir de un triángulo de lados 3 (opuesto), 4(contiguo) y 5(hipotenusa).

Seno:

El seno de un ángulo θ se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir:

sen(θ) =  opuesto/hipotenusa.

Ejemplo:

En nuestro ejemplo de triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y cateto opuesto 3:

sen(θ) = 3/5 = 0,6.

Coseno:

El coseno de un ángulo θ se define como la razón entre el cateto contiguo y la hipotenusa, es decir:

cos(θ) =  contiguo/hipotenusa.

Ejemplo:

En nuestro ejemplo de triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y cateto contiguo 4:

cos(θ) = 4/5 = 0,8.

Tangente:

La tangente de un ángulo θ se define como el cociente entre el seno y el coseno:

tg (θ) =  sen(θ)/cos(θ).

También se puede definir como entre el opuesto entre el contigo (ya que si hiciéramos los cálculos así se quedaría):

tg (θ) =  opuesto/contiguo.

Ejemplo:

En nuestro ejemplo de triángulo rectángulo de hipotenusa 5, cateto contiguo 4 y cateto opuesto 3:

tg(θ) = sen(θ)/cos(θ) = 0,6/0,8 = 0,75.

Por el otro lado:

tg(θ) = 3/4 = 0,75.

Generalidades del seno, coseno y tangente:

Todos los ángulos tienen seno, coseno y tangente.

Siempre el seno y el coseno toma valores entre -1 y 1, la tangente puede tomal cualquier valor.

Valores importantes del seno y del coseno:

Hay que dar especial valor a algunos ángulos, estos son 0º, 90º, 180º, 270º y 360º:

sen(0º) = 0

cos(0º) = 1

 

sen(90º) = 1

cos(90º) = 0

sen(180º) = 0

cos(180º) = -1

sen(270º) = -1

cos(270º) = 0

sen(360º) = 0

cos(360º) = 1.

Vemos que los valores de 0º y 360º son el mismo, esto es porque ya hemos dado la vuelta al círculo y entonces se repiten los valores.

Ejemplo 1:

Calcular el seno, coseno y tangente del ángulo θ definido en el siguiente triángulo:

solución:

sen(θ) = 0,38.

cos(θ) = 0,92.

tg(θ) = 0,42.

Ejemplo 2:

Siendo el sen(θ) = 0,5 y el valor del cateto opuesto igual a 5, calcular la hipotenusa.

solución:

Por definición, sen(θ) = opuesto/hipotenusa,

luego:

0,5 = 5/hipotenusa.

Si pasamos al otro lados:

0,5 · hipotenusa = 5 -->

hipotenusa = 5/0,5 = 10.

Ejemplo 3:

Si tenemos un triángulo de hipotenusa 17, cateto opuesto 8 y sabemos que la tangente vale 0,53. ¿Cuánto vale el cateto contiguo?

solución:

Obtenemos el, sen(θ) = opuesto/hipotenusa = 8/17 = 0,47.

Así podemos calcular el coseno: 

tg(θ) = sen(θ)/cos(θ) -->

0,53 = 0,47/cos(θ).

Despejando:

cos(θ) = 0,47/053 = 0,89. 

Por otro lado, sabemos que:

cos(θ)= contiguo/hipotenusa luego si sustituimos:

0,89 = contiguo/17 -->

0,89 · 17 = contiguo -->

contiguo = 15.

Otra forma de calcularlo:

como tg(θ) = 0,53

tenemos tg(θ) = opuesto/contiguo -->

0,53 = 8/contiguo.

Si despejamos:

contiguo · 0,53 = 8 -->

contiguo = 8/0,53 = 15.

Cosecante, secante y cotangente:

En los ejemplos vamos a partir de un triángulo de lados 3 (opuesto), 4(contiguo) y 5(hipotenusa).

Cosecante:

Es la función inversa del seno, por lo que se define como:

La cosecante de un ángulo θ se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, es decir:

cosec(θ) =  hipotenusa/opuesto.

Ejemplo:

En nuestro ejemplo de triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y cateto opuesto 3:

cosec(θ) = 5/3 = 1,67.

Secante:

Es la función inversa del coseno, por lo que se define como:

La Secante de un ángulo θ se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo , es decir:

sec(θ) =  hipotenusa/contiguo.

Ejemplo:

En nuestro ejemplo de triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y cateto contiguo 4:

sec(θ) = 5/4 = 1,25.

Cotangente:

Es la función inversa de la tangente, por lo que se definirá de cualquiera de las dos formas siguientes:

La cotangente de un ángulo θ se define como el cociente entre el coseno y el seno:

Cotg (θ) =  cos(θ)/sen(θ).

También se define como el cociente entre la cosecante y la secante:

Cotg (θ) =  cosec(θ)/sec(θ).

También se puede definir como entre el opuesto entre el contigo (ya que si hiciéramos los cálculos así se quedaría):

Cotg (θ) =  contiguo/opuesto.

Ejemplo:

En nuestro ejemplo de triángulo rectángulo de hipotenusa 5, cateto contiguo 4 y cateto opuesto 3:

cotg(θ) = cos(θ)/sen(θ) = 0,8/0,6 = 1,33.

ó:

cotg(θ) = cosec(θ)/sec(θ) = 1,67/1,25 = 1,33.

Por el otro lado:

cotg(θ) = 4/3 = 1,33.

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