Las clases de Gonzalo
explicaciones de matemáticas
Combinatoria
La combinatoria es la rama de las matemáticas que se encarga de enumerar las posibles ordenaciones de conjuntos de datos que vamos a estudiar.
Por ejemplo:
Estudiar de cuántas formas se pueden ordenar los libros de una estantería.
Ver de cuántas formas se pueden sentar los comensales de una mesa.
Tenemos unos conceptos básicos que hay que definir antes de empezar:
1. Población:
Son todos los elementos que estamos estudiando.
El número total de elementos se denotará con m.
2. Muestra:
Es un subconjunto de la población. Se denotará con n el número de elementos que tomamos en la muestra.
Tenemos que tener en cuenta además que el hecho de que los elementos se necesiten ORDENADOS o no, y si se pueden REPETIR o no.
Iremos viendo las distintas casuísticas según veamos los tipos.
Antes de comenzar, tenemos que comprender el concepto de "Factorial" de un número n , que se define como el producto de los factores desde “n” hasta 1. Se denota como n! (n factorial, es decir, el símbolo ! nos indica que se está utilizando el factorial del número n).
Ejemplo:
Factorial de 3: 3! = 3 · 2 · 1 = 6.
Factorial de 5: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
Variaciones ordinarias
Definición:
En este caso estamos estudiando cómo ordenar “m” elementos tomados de “n” en en “n” (m>= n) en el que sí importa el orden y no se pueden repetir.
Notación (Se denotará indistintamente como):
Fórmula:
Se podrán utilizar cualquiera de las siguientes:
O también:
Ejemplo:
Calcular las variaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2:
En este caso, m = 5 y n = 2.
Para la primera fórmula: m - n + 1 = 5 - 2 + 1 = 4.
Y así:
De la segunda forma:
Variaciones con Repetición
Definición:
En este caso estamos estudiando cómo ordenar “m” elementos tomados de “n” en en “n” (no importa cuál sea mayor) en el que sí importa el orden y SI se pueden repetir.
Notación (Se denotará indistintamente como):
Fórmula:
Ejemplo:
¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5 y 6?
Se pueden repetir (nadie dice lo contrario) y sí importa el orden (123 no es lo mismo que 321).
Tenemos m=6 y n=3.
Permutaciones
Definición:
Las permutaciones son variaciones ordinarias en las que se utilizan todos los elementos.
Es decir, importa el orden, no se pueden repetir y además m = n.
Notación :
Fórmula:
Ejemplo:
¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1,2 y 3?
No se pueden repetir los elementos y sí importa el orden, como m=3=n tenemos:
P3= 3! = 3·2·1 = 6.
Ver más ejemplos y explicaciones en vídeo (pulsa aquí) (pendiente).
Permutaciones Circulares
Definición:
Las permutaciones circulares son variaciones ordinarias en las que se utilizan todos los elementos (permutaciones) y que además se ordenan “en circulo”, es decir, no hay un inicio y un final o éstos son el mismo elemento.
En resumen, importa el orden, no se pueden repetir y además m = n, pero no está definida la primera posición.
Notación :
Fórmula:
Se puede entonces llegar a la conclusión siguiente:
Ejemplo:
¿De cuántas maneras se pueden sentar a en una mesa redonda 5 personas?
No se pueden repetir los elementos y sí importa el orden, pero al ser una mesa redonda no se sabe dónde empieza y dónde acaba, como m=5 tenemos:
PC5= 4! = 4·3·2·1 = 24.
Ver más ejemplos y explicaciones en vídeo (pulsa aquí) (pendiente).
Permutaciones con Repetición
Definición:
En estos casos tenemos m elementos donde el primero se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces… y en total m=a+b+c+...
Tenemos pues, importa el orden, sí se pueden repetir (cada uno las veces que diga) y además se usan todos los elementos.
Notación :
Fórmula:
Ejemplo:
¿De cuántas maneras se pueden escribir los números 2,2,3,3,3,4,4,4,4 usándolos todos?
Vemos que se usan todos, el 2 está 2 veces, el 3 está 3 veces y el 4 está 4 veces. El orden importa. Luego:
Combinaciones
Definición:
De nuevo estamos estudiando cómo ordenar “m” elementos tomados de “n” en en “n” (m>= n), pero en las combinaciones no importa el orden y no se pueden repetir.
Notación :
Fórmula:
O también:
Ejemplo:
Del estuche de pinturas (en el que tenemos 10 colores diferentes) elegimos 4, ¿de cuántas formas los podemos elegir?
En este caso m=10 y n=4. No se pueden repetir (ya que los colores son diferentes) y NO importa el orden (ya que nos da igual coger primero el blanco y después el azul que primero el azul y después el blanco) por lo que:
Combinaciones con Repetición
Definición:
De nuevo estamos estudiando cómo ordenar “m” elementos tomados de “n” en en “n”, pero en las combinaciones con repetición no importa el orden pero sí se pueden repetir. En el ejemplo definiremos un poco mejor las combinaciones con repetición ya que pueden resultar algo complicadas.
Notación :
Fórmula:
Ejemplo:
El responsable de una estación de tren tiene 4 tipos de trenes. ¿De cuántas formas puede elegir 3 trenes?
Explicación del ejemplo:
Puede elegirlos de 20 formas. En este problema teníamos:
No importa el orden.
Sí se repiten los elementos (tiene de 4 tipos aunque no se dice cuántos de cada tipo, y además, puede escoger 3 del primer tipo si quiere).
El concepto de combinación con repetición difiere un poco del resto, ya que en este caso estamos intentando ver cuántos grupos se pueden realizar, en lugar de los grupos en sí como hasta ahora, es decir, no queremos saber cuántos grupos hay con 2 de tipo A, 1 de tipo B y otro de tipo C, sino cuántas formas de elegir los posibles grupos de 3 trenes que hay.
Es decir, se están haciendo los grupos siguientes:
Esquema resumen:
