Las clases de Gonzalo
explicaciones de matemáticas
Última cifra de exponentes
En este tema vamos a intentar dar solución a la pregunta: ¿Cuál es la última cifra del número ... ? cuando tenemos una potencia muy grande.
El método que hay que seguir es intentar llegar a un patrón de la última cifra, así veremos cuántas veces se tiene que elevar un número para llegar al patrón y ya una vez obtenido ese número, dividiremos la potencia que queremos entre el patrón quedándonos con el resto que nos dará la posición en el patrón.
Veámoslo con un ejemplo:
Queremos conseguir la última cifra del número:
Para ello, obtendremos varias potencias hasta conseguir un patrón:
Vemos que al elevar a 1 acaba en 3, al elevar a 2 acaba en 9, al elevar a 3 acaba en 7, al elevar a 4 acaba en 1 y al elevar a 5 acaba otra vez en 3, al elevar a 6 acaba otra vez en 9, al elevar a 7 acaba otra vez en 7 y al elevar a 8 acaba otra vez en 1.
El patrón se repetirá cada 4 veces entonces.
Lo que tendremos entonces es dividir el número de la potencia entre 4 y mirar el resto:
Si el resto es 1 acabará en 3
Si el resto es 2 acabará en 9
Si el resto es 3 acabará en 7
Si el resto es 0 acabará en 1.
en nuestro caso: 2016/4 = 504 (y de resto 0), luego el número que buscamos acaba en 1.
Veamos otro ejemplo:
Queremos calcular la última cifra del número:
Para ello, obtendremos varias potencias hasta conseguir un patrón:
Este caso es aún más fácil, puesto que siempre cualquier potencia de 5 termina en 5, luego en este caso en número buscado termina en 5.
Calcular la última cifra del número:
En este caso hay una suma, para poder calcular la última cifra de la suma primero tenemos que calcular la última cifra de cada uno de ellos por separado:
El patrón es de 4, por lo que 2017:4 = 504 y de resto 1, el número acaba en 2.
Para el 7:
De nuevo el patrón es de 4, por lo que 2017:4 = 504 y de resto 1, el número acaba en 7.
Entonces en la suma tendremos que en la última cifra será 2 + 7 = 9, por lo que la última cifra de la suma es de 9.