Binomio de Newton y números combinatorios

Binomio de Newton

Otra forma de indicar el número combinatorio es:

Ejemplos:

Especialmente útil para resolver los problemas asociados al binomio de Newton:

Se obtienen los coeficientes, vamos se desarrolla la potencia según las siguientes fórmulas:

Si es una suma:

Si es una resta:

Veamos unos ejemplos:

Esto ya lo sabíamos puesto que conocemos que:

Lo que estamos realizando es la generalización de esa fórmula.

Es decir, estamos intentando explicar un método para desarrollar cualquier potencia de la suma de dos números.

Con restas:

Triangulo de Pascal-Tartaglia:

Podemos obtener un método con el que sacar los coeficientes en cada caso, si observamos el triángulo siguiente:

El número de debajo se saca de obtener la suma de los dos de encima, por ejemplo el 6 se obtiene de sumar 3+3 (los dos de encima) y el 70 se obtiene de sumar 35+35 (los dos de encima).

En él vemos los coeficientes hasta la octava potencia (pero se puede generalizar infinitamente)

Con esto queremos decir que:

Se ve que es más rápido que tener que realizar los cálculos, ya que están previamente realizados.

¿Cómo calcular el término que ocupa la posición k en el desarrollo?

Si queremos calcular el término k-ésimo de una suma se tiene que aplicar la fórmula:

Si es una suma:

Si es una resta:

Ejemplo:

Calcular el cuarto término de:

Calcular el tercer término de: