Teorema de Rolle

El teorema de Rolle dice:

Sea una función f(x) que cumple: 

- Es continua en el intervalo [a,b]

- Es derivable en el intervalo (a,b)

- f(a) = f(b).

Entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo (a,b) tal que f’(c) = 0.

 

Es decir, si la función cumple las condiciones existe un punto en el intervalo que tiene tangente horizontal.

Ejemplo:

Dada la función:

Comprobar que se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [-4,1]. 

 

Condiciones:

f(x) tiene que ser continua en [-4,1], que lo es por ser polinómica.

f(x) tiene que ser derivable en (-4,1), que lo es por ser polinómica.

f(-4) = 0

f(1) = 0

Por lo que f(-4) = f(1).

 

Entonces, por el teorema de Rolle, existe un punto c tal que f’(c) = 0.

Por conocimiento, vamos a ver cuál es ese punto:

 

f’(x) = 2x + 3.

Así, buscamos un c tal que f’(c) = 0 → 

f’(c) = 0 → 2·c + 3 = 0 →  c = -3/2.

 

Luego c= -3/2 es un punto que tiene tangente horizontal.

 

Como aplicación del teorema, si tenemos un punto que tiene tangente horizontal, entonces lo que tenemos es un extremo relativo (máximo o mínimo), es decir, si se cumplen las condiciones del teorema se puede asegurar que la función tiene al menos un extremo en ese intervalo.

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