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INTEGRALES RACIONALES 1

En este apartado vamos a ver las integrales racionales para raíces reales.

Todas las integrales racionales van a ser de la forma:

Donde P(x) y Q(x) van a ser dos polinomios.

Lo primero que tenemos que mirar son los grados del numerador y del denominador, para poder continuar tiene que ser menor el del numerador que el del denominador, si no fuera así (si es mayor el del numerador o son iguales) se dividirían los polinomios.

Una vez revisados los grados, hay que descomponer el denominador, y entonces tendremos varias opciones:

Caso 1: Raíces reales simples:

En este caso, el polinomio Q(x) va a tener raíces reales simples (esto es, varias raíces todas diferentes y reales), son del tipo (x-a), se podrá escribir como:

Q(x) = (x - a)·(x - b)·(x - c)…

Y así, la fracción se podrá poner como:

Los coeficientes se calcularán identificando los coeficientes (se verá en el ejemplo).

Por lo que la integral de la fracción será las integrales de los sumandos:

Y las soluciones serán logaritmos.

Ejemplo:

Primero miramos los grados, en este caso el denominador es mayor que el numerador por lo que continuamos con el proceso.

Calculamos las raíces del denominador:

x1 = 1, x2 = -2.

Nos queda entonces:

Para calcular los coeficientes primero hacemos mínimo común múltiplo:

Si simplificamos los denominadores:

2x + 3 = Ax + 2A + Bx – B

Si igualamos según los coeficientes de la x:

Coeficiente en x:

2 = A + B

Coeficiente independiente:

3 = 2A – B

Nos queda un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Despejamos B en la primera: B = 2 – A.

Sustituimos en la segunda: 3 = 2A – (2-A); 3 = 2A – 2 + A; 3+2 = A; A = 5.

Si deshacemos el cambio: B = -3.

Por lo tanto:

Resolvemos esas integrales:

Solución:

Ver ejemplo en vídeo.

Caso 2: Raíces reales múltiples:

En este caso, el polinomio Q(x) va a tener raíces reales múltiples (esto es, algunas raíces salen varias veces y reales), se podrá escribir como:

Es decir, a es n veces raíz de Q(x), b es m veces raíz de Q(x), c es d veces raíz de Q(x)…

Para simplificar la explicación, vamos a quedarnos sólo con una raíz:

Y así, la fracción se podrá poner como:

Por lo que la integral de la fracción será las integrales de los sumandos:

Y las soluciones serán logaritmos y fracciones.

Ejemplo:

Igual que antes, el denominador es mayor que el numerador por lo que continuamos con el proceso.

Calculamos las raíces del denominador.

En este caso las 2 raíces valen -1, lo que nos lleva a:

Para calcular los coeficientes primero hacemos mínimo común múltiplo:

Simplificamos los denominadores y entonces:

3x + 1 = Ax + A + B

Si igualamos según los coeficientes de la x:

Coeficiente en x:

3 = A

Coeficiente independiente:

1 = A + B

Nos queda un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

Tenemos de la primera que A = 3 que nos da directamente el otro valor: B = -2:

Resolvemos esas integrales:

Solución:

Ver ejemplo en vídeo.