Las clases de Gonzalo
explicaciones de matemáticas
Números Enteros
Una vez conocidos los números naturales, nos encontramos ante el problema de que no responden a todas las preguntas que nos podemos hacer, como por ejemplo qué pasa si restamos a un número uno mayor.
Esta situación nos obliga a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo así un conjunto numérico llamado “números enteros”.
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero:
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Se puede así dividir los números enteros en 3 partes:
Enteros negativos: {...,-5,-4,-3,-2,-1}
Cero: {0}
Enteros positivos: {1,2,3,4,5,...}
Valor absoluto de un número entero:
Se define el valor absoluto de un número entero como el número natural que se obtiene al quitar el signo. Se denota como el número entre barras (“| |”).
Ejemplos:
|-3| = 3.
|3| = 3.
|-25| = 25.
Representación gráfica:
Los números enteros se expresan en una recta de la siguiente manera:
Orden de los números enteros:
Al poder hacer representación gráfica, se ve que hay un orden, es decir, hay números mayores(>) y menores(<) que otros, se siguen estas reglas:
El 0 es mayor que los números negativos.
Ej: 0 > -5.
El 0 es menor que los números positivos.
Ej: 0 < 5.
Todos los números positivos son mayores que los números negativos.
Ej: -2 < 3.
Si tenemos 2 números negativos, el mayor es el que tiene menor valor absoluto.
Ej: -3 < -2. Ya que |-3| = 3 y |-2| = 2.
Si tenemos 2 números positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto.
Ej: 5 < 7. Ya que |5| = 5 y |7| = 7.
Suma de dos números enteros:
Se tienen que seguir las siguientes normas:
Si ambos números tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y el signo de la suma es el que tienen los números.
Si tienen distinto signo, se tiene que restar el que tenga menor valor absoluto al que tenga mayor valor absoluto y el resultado tiene el mismo signo que el que tiene mayor valor absoluto.
Ejemplos:
5 + 7 = 12.
-5 - 7 = -12.
3 - 2 = 1.
5 - 7 = -2.
-5 + 7 = 2.
-10 + 3 = -7.
Propiedades de la suma de números enteros:
Interna: Si a y b son enteros, entonces a + b es un número entero.
Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c).
Ej: (2 + 4 ) + 3 = 2 + (4 + 3) = 9.
Propiedad conmutativa: a + b = b + a.
Ej: 2 + 3 = 3 + 2 = 5.
Existe elemento neutro: (el 0): a + 0 = a.
Ej: 3 + 0 = 3 (y también 0 + 3 = 3).
Existe elemento opuesto: (el -a) a + (-a) = 0.
Ej: 3 + (-3) = 0 (y también (-3) + 3 = 0).
Resta de dos números enteros:
La diferencia (o resta) de 2 números enteros se obtiene sumando el opuesto.
Es decir, si tenemos a - b, se hará a + (-b).
Ejemplos:
1 - 3 = 1 + (-3) = -2.
3 - (-2) = 3 + (2) = 5.
Propiedades de la resta:
Interna: Si a y b son enteros, entonces a - b es un número entero.
No es conmutativa: a - b ≠ b - a.
Ej: 2 - 3 = -1 ≠ 3 - 2 = 1.
Multiplicación de dos números enteros:
El producto (o la multiplicación) de dos números enteros obtiene multiplicando sus valores absolutos y el signo se determina según la siguiente regla:
(+) · (+) = (+) Más por más igual a más.
(+) . (-) = (-) Más por menos igual a menos.
(-) · (+) = (-) Menos por más igual a menos.
(-) · (-) = (+) Menos por menos igual a menos.
Ejemplos:
(+2) · (+4) = (+ 8).
(+2) · (-4) = (-8).
(-2) · (+4) = (-8).
(-2) · (-4) = (+8).
Propiedades del producto de dos enteros:
Interna: Si a y b son enteros, entonces a · b es un número entero.
Propiedad asociativa: (a · b) · c = a · (b · c).
Ej: (3·2)·4 = (6)·4 = 24.
3·(2·4) =3·(8) = 24.
Propiedad conmutativa: a · b = b · a.
Ej: 3·2 = 6 = 2·3.
Existe elemento neutro: (el 1): a · 1 = a.
Ej: 3·1 = 3 (y también 1·3=3).
Propiedad distributiva respecto a la suma: a · (b + c) = a · b + a · c.
Ej: 3·(4+5) = 3·(9) = 27.
3·(4+5) = 3·4 + 3·5 = 12 + 15 = 27.
División de dos números enteros:
La división de dos números enteros se obtiene dividiendo sus valores absolutos y el signo se determina según la misma regla que en la multiplicación:
(+) · (+) = (+) Más por más igual a más.
(+) . (-) = (-) Más por menos igual a menos.
(-) · (+) = (-) Menos por más igual a menos.
(-) · (-) = (+) Menos por menos igual a menos.
Ejemplos:
(+4) : (+2) = (+2).
(+8) : (-2) = (-4).
(-15) : (+5) = (-3).
(-20) : (-5) = (+4).
Propiedades de la división de dos enteros:
No tiene porque ser Interna: si a y b son dos enteros, a:b no tiene porque ser entero.
Ejemplo: 2 y 3 son números enteros pero 2:3 no es un número entero.
No tiene porque ser conmutativo: a:b ≠ b:a.
Ejemplo: 4:2 = 2 que es distinto de 2:4 que además no es entero.
Potencia de un número entero (con exponente positivo):
La potencia de un número entero se obtiene como la potencia del valor absoluto del número, y con el signo siguiendo la siguiente regla:
Si el número al que está elevado es un par, entonces el signo es positivo.
Si el número al que está elevado es impar, entonces tiene el mismo signo.
Ejemplo:
Potencia de un número entero (con exponente negativo):
La potencia de un número entero con exponente negativo no va a existir en el conjunto de los números enteros, pero se calcula de la siguiente manera:
Raíz cuadrada de un número entero:
Para que un número entero tenga raíz cuadrada, lo primero es que ese número tiene que ser positivo o cero, por lo que sólo tendrán raíces los números positivos y el cero (y raíz de cero es cero).
Se calcula obteniendo el número que elevado al cuadrado nos de el número que buscamos.
Se ve que hemos utilizado ±b, esto es porque todas las raíces tienen 2 soluciones, la positiva y la negativa, ya que menos por menos es más.
Ejemplos:
ya que (+3)·(+3) = 9, y (-3)·(-3) = 9.
ya que (+4)·(+4) = 16, y (-4)·(-4) = 16.
ya que (+5)·(+5) = 25, y (-5)·(-5) = 25.
Orden de las operaciones al realizar varias a la vez:
Si nos enfrentamos a un problema en el que tenemos varias operaciones, se harán siguiendo el siguiente esquema:
1º: Ejecutar lo que esté dentro de los paréntesis.
2º: Potencias y raíces.
3º: Multiplicaciones y divisiones.
4º: Sumas y restas.