Números Enteros

Una vez conocidos los números naturales, nos encontramos ante el problema de que no responden a todas las preguntas que nos podemos hacer, como por ejemplo qué pasa si restamos a un número uno mayor.

Esta situación nos obliga a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo así un conjunto numérico llamado “números enteros”.

 

El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero:

Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

 

Se puede así dividir los números enteros en 3 partes:

Enteros negativos: {...,-5,-4,-3,-2,-1}

Cero: {0}

Enteros positivos: {1,2,3,4,5,...}

 

Valor absoluto de un número entero:

 

Se define el valor absoluto de un número entero como el número natural que se obtiene al quitar el signo. Se denota como el número entre barras (“| |”).

Ejemplos:

|-3| = 3.

|3| = 3.

|-25| = 25.

 

Representación gráfica:

Los números enteros se expresan en una recta de la siguiente manera:

 

Orden de los números enteros:

Al poder hacer representación gráfica, se ve que hay un orden, es decir, hay números mayores(>) y menores(<) que otros, se siguen estas reglas:

El 0 es mayor que los números negativos.

Ej: 0 > -5.

El 0 es menor que los números positivos.

Ej: 0 < 5.

Todos los números positivos son mayores que los números negativos.

Ej: -2 < 3.

Si tenemos 2 números negativos, el mayor es el que tiene menor valor absoluto.

Ej: -3 < -2. Ya que |-3| = 3 y |-2| = 2.

Si tenemos 2 números positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto.

Ej: 5 < 7. Ya que |5| = 5 y |7| = 7.

Suma de dos números enteros:

Se tienen que seguir las siguientes normas:

Si ambos números tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y el signo de la suma es el que tienen los números.

Si tienen distinto signo, se tiene que restar el que tenga menor valor absoluto al que tenga mayor valor absoluto y el resultado tiene el mismo signo que el que tiene mayor valor absoluto.

Ejemplos:

5 + 7 = 12.

-5 - 7 = -12.

3 - 2 = 1.

5 - 7 = -2.

-5 + 7 = 2.

-10 + 3 = -7.

Propiedades de la suma de números enteros:

Interna: Si a y b son enteros, entonces a + b es un número entero.

Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c).

Ej: (2 + 4 ) + 3 = 2 + (4 + 3) = 9.

Propiedad conmutativa: a + b = b + a.

Ej: 2 + 3 = 3 + 2 = 5.

Existe elemento neutro: (el 0): a + 0 = a.

Ej: 3 + 0 = 3 (y también 0 + 3 = 3).

Existe elemento opuesto: (el -a) a + (-a) = 0.

Ej: 3 + (-3) = 0 (y también (-3) + 3 = 0).

Resta de dos números enteros:

La diferencia (o resta) de 2 números enteros se obtiene sumando el opuesto.

Es decir, si tenemos a - b, se hará a + (-b).

Ejemplos:

1 - 3 = 1 + (-3) = -2.

3 - (-2) = 3 + (2) = 5.

Propiedades de la resta:

 

Interna: Si a y b son enteros, entonces a - b es un número entero.

No es conmutativa: a - b ≠ b - a.

Ej: 2 - 3 = -1 ≠ 3 - 2 = 1.

Multiplicación de dos números enteros:

 

El producto (o la multiplicación) de dos números enteros obtiene multiplicando sus valores absolutos y el signo se determina según la siguiente regla:

(+) · (+) = (+) Más por más igual a más.

(+) . (-) = (-) Más por menos igual a menos.

(-) · (+) = (-) Menos por más igual a menos.

(-) · (-) = (+) Menos por menos igual a menos.

 

Ejemplos:

(+2) · (+4) = (+ 8).

(+2) · (-4) = (-8).

(-2) · (+4) = (-8).

(-2) · (-4) = (+8).

 

Propiedades del producto de dos enteros:

Interna: Si a y b son enteros, entonces a · b es un número entero.

Propiedad asociativa: (a · b) · c = a · (b · c).

Ej: (3·2)·4 = (6)·4 = 24.

     3·(2·4) =3·(8) = 24. 

Propiedad conmutativa: a · b = b · a.

Ej: 3·2 = 6 = 2·3.

Existe elemento neutro: (el 1): a · 1 = a.

Ej: 3·1 = 3 (y también 1·3=3).

Propiedad distributiva respecto a la suma: a · (b + c) = a · b + a · c.

Ej: 3·(4+5) = 3·(9) = 27.

     3·(4+5) = 3·4 + 3·5 = 12 + 15 = 27.

División de dos números enteros:

 

La división de dos números enteros se obtiene dividiendo sus valores absolutos y el signo se determina según la misma regla que en la multiplicación:

(+) · (+) = (+) Más por más igual a más.

(+) . (-) = (-) Más por menos igual a menos.

(-) · (+) = (-) Menos por más igual a menos.

(-) · (-) = (+) Menos por menos igual a menos.

Ejemplos:

(+4) : (+2) = (+2).

(+8) : (-2) = (-4).

(-15) : (+5) = (-3).

(-20) : (-5) = (+4).

Propiedades de la división de dos enteros:

No tiene porque ser Interna: si a y b son dos enteros, a:b no tiene porque ser entero.

Ejemplo: 2 y 3 son números enteros pero 2:3 no es un número entero.

 

No tiene porque ser conmutativo: a:b ≠ b:a.

Ejemplo: 4:2 = 2 que es distinto de 2:4 que además no es entero.

Potencia de un número entero (con exponente positivo):

 

La potencia de un número entero se obtiene como la potencia del valor absoluto del número, y con el signo siguiendo la siguiente regla:

Si el número al que está elevado es un par, entonces el signo es positivo.

Si el número al que está elevado es impar, entonces tiene el mismo signo.

Ejemplo:

 

 

Potencia de un número entero (con exponente negativo):

La potencia de un número entero con exponente negativo no va a existir en el conjunto de los números enteros, pero se calcula de la siguiente manera:

 

 

Raíz cuadrada de un número entero:

Para que un número entero tenga raíz cuadrada, lo primero es que ese número tiene que ser positivo o cero, por lo que sólo tendrán raíces los números positivos y el cero (y raíz de cero es cero).

Se calcula obteniendo el número que elevado al cuadrado nos de el número que buscamos.

 

Se ve que hemos utilizado ±b, esto es porque todas las raíces tienen 2 soluciones, la positiva y la negativa, ya que menos por menos es más.

 

Ejemplos:

ya que (+3)·(+3) = 9, y (-3)·(-3) = 9.

ya que (+4)·(+4) = 16, y (-4)·(-4) = 16.

ya que (+5)·(+5) = 25, y (-5)·(-5) = 25.

Orden de las operaciones al realizar varias a la vez:

Si nos enfrentamos a un problema en el que tenemos varias operaciones, se harán siguiendo el siguiente esquema:

1º: Ejecutar lo que esté dentro de los paréntesis.

2º: Potencias y raíces.

3º: Multiplicaciones y divisiones.

4º: Sumas y restas.

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