Relaciones entre las razones trigonométricas

Ángulos complementarios

Ángulos complementarios (ángulo α y ángulo 90-α) se verifica que:

sen (90º-α) =  cos α.

cos (90º-α) = sen α.

tg (90º-α) = cotg α.

cosec (90º-α) = sec α.

sec (90º-α) = cosec α.

cotg(90º-α) = tg(α)

Ejemplo:

Calcular las razones trigonométricas de 60º sabiendo las de 30º que son:

Por las relaciones que tenemos entonces:

 

Ángulos suplementarios

 

Para ángulos suplementarios (ángulo α y ángulo 180-α):

sen (180º-α) =  sen α.

cos (180º-α) = - cos α.

tg (180º-α) = - tg α.

cosec (180º-α) = cosec α.

sec (180º-α) = - sec α.

cotg(180º-α) = -cotg α.

 

Ejemplo, a partir de los ya conocidos de 60º, calcular los valores de las razones trigonométricas para 120º:

 

Ángulos que difieren 90º

 

sen (90º+α) =  cos α.

cos (90º+α) = - sen α.

tg (90º+α) = - cotg α.

cosec (90º+α) = sec α.

sec (90º+α) = - cosec α.

cotg(90º+α) = - tg α.

 

Ejemplo:

A partir de los ya conocidos de 30º, calcular los valores de las razones trigonométricas para 120º:

Volvamos a ver los de 30º:

 

Entonces, utilizando estos, los de 120º  (90º + 30º):

 

Aquí se puede observar que hemos obtenido los mismos valores de 120º mediante 2 formas diferentes (como ángulo suplementario de 60º y como suma de 90+30), esto es coherente ya que lógicamente los valores tienen que ser los mismos.

Ángulos que difieren 180º

 

sen (180º+α) = - sen α.

cos (180º+α) = -cos α.

tg (180º+α) =  tg α.

cosec (180º+α) = -cosec α.

sec (180º+α) = - sec α.

cotg(180º+α) =  cotg α.

Ejemplo:

Calcular las razones trigonométricas para 210º:

Tenemos que darnos cuenta de que 210º = 180 + 30º, luego podemos partir de las de 30º, y así:

Ángulos que difieren 270º

 

sen (270º+α) = - cos α.

cos (270º+α) = sen α.

tg (270º+α) =  -cotg α.

cosec (270º+α) = -sec α.

sec (270º+α) =  cosec α.

cotg(270º+α) = - tg α.

 

Ejemplo, calcular las razones trigonométricas de 330º:

Tenemos que darnos cuenta de que 330º = 270º + 60º, luego:

Ángulos opuestos

 

sen (-α) = - sen α.

cos (-α) = cos α.

tg (-α) =  -tg α.

cosec (-α) = -cosec α.

sec (-α) =  sec α.

cotg(-α) =  -cotg α.

 

Ejemplo:

A partir de 30º, vamos a calcular los valores de -30º:

En este momento, de nuevo tenemos que ver que las razones trigonométricas de 330º son las mismas que las de -30º, al final si se ve la circunferencia trigonométrica veremos que la

altura y la base del triángulo es la misma, es por ello que valen lo mismo.

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