Las clases de Gonzalo
explicaciones de matemáticas
Relaciones entre las razones trigonométricas
Ángulos complementarios
Ángulos complementarios (ángulo α y ángulo 90-α) se verifica que:
sen (90º-α) = cos α.
cos (90º-α) = sen α.
tg (90º-α) = cotg α.
cosec (90º-α) = sec α.
sec (90º-α) = cosec α.
cotg(90º-α) = tg(α)
Ejemplo:
Calcular las razones trigonométricas de 60º sabiendo las de 30º que son:
Por las relaciones que tenemos entonces:
Ángulos suplementarios
Para ángulos suplementarios (ángulo α y ángulo 180-α):
sen (180º-α) = sen α.
cos (180º-α) = - cos α.
tg (180º-α) = - tg α.
cosec (180º-α) = cosec α.
sec (180º-α) = - sec α.
cotg(180º-α) = -cotg α.
Ejemplo, a partir de los ya conocidos de 60º, calcular los valores de las razones trigonométricas para 120º:
Ángulos que difieren 90º
sen (90º+α) = cos α.
cos (90º+α) = - sen α.
tg (90º+α) = - cotg α.
cosec (90º+α) = sec α.
sec (90º+α) = - cosec α.
cotg(90º+α) = - tg α.
Ejemplo:
A partir de los ya conocidos de 30º, calcular los valores de las razones trigonométricas para 120º:
Volvamos a ver los de 30º:
Entonces, utilizando estos, los de 120º (90º + 30º):
Aquí se puede observar que hemos obtenido los mismos valores de 120º mediante 2 formas diferentes (como ángulo suplementario de 60º y como suma de 90+30), esto es coherente ya que lógicamente los valores tienen que ser los mismos.
Ángulos que difieren 180º
sen (180º+α) = - sen α.
cos (180º+α) = -cos α.
tg (180º+α) = tg α.
cosec (180º+α) = -cosec α.
sec (180º+α) = - sec α.
cotg(180º+α) = cotg α.
Ejemplo:
Calcular las razones trigonométricas para 210º:
Tenemos que darnos cuenta de que 210º = 180 + 30º, luego podemos partir de las de 30º, y así:
Ángulos que difieren 270º
sen (270º+α) = - cos α.
cos (270º+α) = sen α.
tg (270º+α) = -cotg α.
cosec (270º+α) = -sec α.
sec (270º+α) = cosec α.
cotg(270º+α) = - tg α.
Ejemplo, calcular las razones trigonométricas de 330º:
Tenemos que darnos cuenta de que 330º = 270º + 60º, luego:
Ángulos opuestos
sen (-α) = - sen α.
cos (-α) = cos α.
tg (-α) = -tg α.
cosec (-α) = -cosec α.
sec (-α) = sec α.
cotg(-α) = -cotg α.
Ejemplo:
A partir de 30º, vamos a calcular los valores de -30º:
En este momento, de nuevo tenemos que ver que las razones trigonométricas de 330º son las mismas que las de -30º, al final si se ve la circunferencia trigonométrica veremos que la
altura y la base del triángulo es la misma, es por ello que valen lo mismo.