Estadística descriptiva

Cuantiles (Cuartiles, deciles, percentiles...)

Vamos a centrarnos ahora en los "cuantiles".

Se utilizan cuando intentamos "dividir" los valores en n intervalos, según el porcentaje que queramos en cada intervalo, para ello se obtienen los puntos que separan cada intervalo, y estos puntos serán los cuantiles.

El primer caso es la mediana, éste valor separa los datos en 50-50 como ya hemos visto.

Veamos los principales cuantiles conocidos:

Cuartiles: Son los tres valores que dividen en cuatro los datos (25%, 50% y 75%). Se denotan como Q1, Q2 y Q3.

Datos no agrupados, hay que ordenar los datos de menor a mayor y utilizar los siguientes:

Para el Q1: El valor que está en la posición n/4.

Para el Q2: El valor que está en la posición 2n/4 = n/2 (por lo que el Q2= Me).

Para el Q3: El valor que está en la posición 3n/4.

De nuevo, si es el valor de la posición que buscamos es un entero se toma el valor de los datos que ocupa dicha posición, pero si no es entero se toma el medio de los dos valores de la variable que ocupan la posición anterior y siguiente.

Datos agrupados, en este caso hay que tomar el intervalo del cuartil, que será donde se encuentre el valor que ocupa la posición:

Para el Q1: El valor que está en la posición n/4.

Para el Q2: El valor que está en la posición 2n/4 = n/2 (por lo que el Q2= Me).

Para el Q3: El valor que está en la posición 3n/4.

Y después se utilizará la fórmula que corresponda:

Fórmula genérica:

Li es el límite inferior del intervalo donde esté el cuartil correspondiente, F es la frecuencia absoluta acumulada (al ser de i-1 es del intervalo anterior al que nos encontremos), f es la frecuencia absoluta del intervalo y a es la amplitud del intervalo.

Fórmulas concretas:

Ejemplo: Dadas las siguientes alturas de los estudiantes de una clase: 163, 165, 169, 170, 172, 174, 175, 177, 182 y 185. Calcular los cuartiles.

Tenemos 10 observaciones (y están ya ordenadas), por lo que:

El Q1 es el valor que está en la posición 1·10/4 (2,5), que al no ser entero será el medio entre los que están en la posición 2 y 3 (165 y 169), luego Q1 = 167.

El Q2 es el valor que está en la posición 2·10/2 (5) , luego Q2 = 172 (=Me).

El Q3 es el valor que está en la posición 3·10/4 (7,5), que al no ser entero será el medio entre los que están en la posición 7 y 8 (175 y 177), luego Q3 = 176.

Ejemplo: Dados los siguientes datos agrupados, calcular los cuartiles:

Vamos a calcular Q1 y Q3, ya que el Q2 es igual a Me que ya está calculada.

Lo primero que tenemos que ver es que n = 14, luego n/4 = 3,5 y 3n/4 = 10,5.

Para ver dónde está Q1 (el intervalo) tenemos que ver dónde está el que ocupa la posición 3,5, que está en el intervalo [5-10), ya que la frecuencia absoluta acumulada (8) es mayor que 3,5 (es decir, está en el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea mayor que la posición que buscamos).

Ahora vemos el resto de datos que necesitamos: 

Li = 5 (límite inferior del intervalo).

Fi-1 = 3 (frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior).

fi = 5 (frecuencia del intervalo).

ai = 5 (amplitud del intervalo).

Luego:

Q1 = 5 + ((3,5-3)/5) * 5 = 5 + (0,5/5)*5 = 5 + 0,5 = 5,5.

Para ver dónde está Q3 (el intervalo) tenemos que ver dónde está el que ocupa la posición 10,5, que está en el intervalo [10-15), ya que la frecuencia absoluta acumulada (12) es mayor que 10,5 (es decir, está en el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea mayor que la posición que buscamos).

Ahora vemos el resto de datos que necesitamos: 

Li = 10 (límite inferior del intervalo).

Fi-1 = 8 (frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior).

fi = 4 (frecuencia del intervalo).

ai = 5 (amplitud del intervalo).

Luego:

Q3 = 10 + ((10,5-8)/4) * 5 = 10 + (2,5/4)*5 = 10 + 3,125 = 13,125.

 

 

Percentiles: Son los valores que dividen en100 los datos (25%, 50% y 75%). Se denotan como Pj, siendo j el j-ésimo percentil.

Se calculan según la fórmula:

Donde los valores son los mismos que los indicados en la mediana y los cuartiles.

En total hay 99 percentiles, que se calculan cambiando la "j" por el percentil que buscamos, siendo su método de cálculo igual que en los cuartiles.

Como se puede ver, lo que se va modificando según vamos definiendo nuevos cuantiles es el número por el que se divide (4 en el caso de cuartos y 100 en el caso de percentiles), por lo que se puede llegar a la conclusión de que existen más posibles definiciones según se va cambiando ese número.

Para el caso de 5 (queremos dividir en 5 partes los datos), esos cuantiles se denominan "quintiles".

Para el caso de dividir en 10 partes, se denominan "deciles".  

 

Si queremos obtener una fórmula general para los cuantiles, tenemos que definir el número de divisiones de los datos que queremos (le llamaremos v) y encontes se calculará el cuantil "j" según la fórmula:

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