Las clases de Gonzalo
explicaciones de matemáticas
Estadística descriptiva
Estadísticos de dispersión
Rango:
El rango o amplitud (R) es el estadístico que consiste en obtener la diferencia entre el mayor y el menor.
Ejemplo: Dadas las siguientes alturas de los estudiantes de una clase: 165, 163, 172, 170, 182, 175, 177, 185, 174 y 169. Calcular el rango.
El valor mínimo es 163 y el máximo es 185, por lo que R = 185 - 163 = 22.
Al intentar ver cuánto se desvían los datos de la media, nos surge el concepto de dispersión.
Para ello se definen los estadísticos que tenemos a continuación.
Rango Intercuartílico:
El rango intercuartílico (RIC) es el estadístico que consiste en obtener la diferencia entre el tercer quartil y el primer cuartil.
Ejemplo: Dadas las siguientes alturas de los estudiantes de una clase: 165, 163, 172, 170, 182, 175, 177, 185, 174 y 169. Calcular el rango intercuartílico.
El primer cuartil es 169,25 y el tercer cuartil es 176,5 tenemos entonces:
RCI = 176,5 - 169,25 = 7,25.
Desviación media
Se define como la suma de las diferencias de los valores a la media, es decir:
Ejemplo: Dadas las siguientes alturas de los estudiantes de una clase: 165, 163, 172, 170, 182, 175, 177, 185, 174 y 169. Calcular la desviación media.
dm = (|165-173,2|+|163-173,2|+|172-173,2|+|170-173,2|+|182-173,2|+|175-173,2|+|177-173,2| + |185-173,2|+|174-173,2|+|169-173,2|)/10 = (8,2+10,2+1,2+3,2+8,8+1,8+3,8+11,8+0,8+4,2)/10 = 54/10 --> dm = 5,4.
Varianza:
La varianza se obtiene mediante uno de los siguientes métodos:
Ejemplo: Dadas las siguientes alturas de los estudiantes de una clase: 165, 163, 172, 170, 182, 175, 177, 185, 174 y 169. Calcular la varianza.
La media es 173,2 y en total hay 10 (N) estudiantes, en este caso cada uno aparece una vez, por lo que su frecuencia absoluta es 1.
varianza = 43,56.
Desviación típica:
La desviación típica (o desviación estándar) es la raíz cuadrada de la varianza.
CuasiVarianza:
La Cuasivarianza se define igual que la varianza pero dividiendo por (N-1) en lugar de N.
Tiene la ventaja que es centrado, por eso más adelante será más utilizado que la varianza.
Ejemplo: Dadas las siguientes alturas de los estudiantes de una clase: 165, 163, 172, 170, 182, 175, 177, 185, 174 y 169. Calcular la cuasivarianza.
La media es 173,2 y en total hay 10 (N) estudiantes, en este caso al calcular la cuasivarianza se dividirá entre 9 (N-1)
cuasivarianza = 48,4.
CuasiDesviación típica:
La cuasidesviación típica es la raíz cuadrada de la cuasivarianza.
Coeficiente de variación:
Estos estadísticos que hemos visto tienen el problema de que utilizan unidades, es decir, si nuestra variable es altura nos dará la dispersión en altura, por lo que no nos permitirá comparar entre dos variables de diferentes unidades (como por ejemplo altura y peso).
Para realizar estas comparaciones se define el Coeficiente de variación, que se define como la relación entre la desviación típica y la media de una variable:
Se utiliza el valor absoluto de la media ya que el C.V. siempre ha de ser positivo (la desviación típica siempre lo es).
Si multiplicamos el C.V. por 100 nos queda un porcentaje (%).
Cuanto menor sea el coeficiente de variación más homogéneos serán los datos, es decir, más concentrados respecto a su media o menos dispersos.
Ejemplo: Dadas las siguientes alturas de los estudiantes de una clase: 165, 163, 172, 170, 182, 175, 177, 185, 174 y 169. Calcular el coeficiente de variación..
La media es 173,2
La varianza es 43,56, luego la desviación típica es, S = 6,6.
C.V. = 6,6/173,2 = 0,038.